概要：解析(1)当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=(a2+a 1)+2a2+a1=3a2+2a1=3+0=3.即当m=1时，第4m+1项能被3整除.命题成立.(2)假设当m=k时，a4k+1能被3整除，则当m=k+1时，a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=2a4k+3+a4k+2=2(a4k+2+a4k+1)+a4k+2=3a4k+2+2a4k+1.显然，3a4k+2能被3整除，又由假设知a4k+1能被3整除，∴3a4k+2+2a4k+1能被3整除.即当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除.命题也成立.由(1)和(2)知，对于任意n∈N*，数列{an}中的第4m+1(m∈N*)项能被3整除.20.(12分)设二次函数f(x)=x2+ax+a，方程 f(x)-x=0的两根x1和x2满足0(1)求实数a的取值范围;(2)试比较f(0)f(1)-f(0)与116的大小，并说明理由.解析(1)令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a，由题意可得Δ>0，0

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解析　(1)当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=(a2+a 1)+2a2+a1=3a2+2a1=3+0=3.

即当m=1时，第4m+1项能被3整除.命题成立.

(2)假设当m=k时，a4k+1能被3整除，则当m=k+1时，

a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=2a4k+3+a4k+2=2(a4k+2+a4k+1)+a4k+2=3a4k+2+2a4k+1.

显然，3a4k+2能被3整除，又由假设知a4k+1能被3整除，

∴3a4k+2+2a4k+1能被3整除.

即当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除.命题也成立.

由(1)和(2)知，对于任意n∈N*，数列{an}中的第4m+1(m∈N*)项能被3整除.

20.(12分)设二次函数f(x)=x2+ax+a，方程 f(x)-x=0的两根x1和x2满足0

(1)求实数a的取值范围;

(2)试比较f(0)f(1)-f(0)与116的大小，并说明理由.

解析　(1)令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a，

由题意可得Δ>0，0<1-a2<1，g1>0，g0>0⇔a<3-22或a>3+22，-10

⇔0

故实数a的取值范围是(0,3-22).

(2)f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a2，

令h(a)=2a2，∵当a>0时，h(a)单调递增，

∴当0

即f(0)f(1)-f(0)<116.

21.(12分)已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点(an，an+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2an，求证：bn•bn+2

解析　(1)由已知得an+1=an+1，则an+1-an=1，又a1=1，所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列.故an=1+(n-1)×1=n.

(2)由(1)知，an=n，从而bn+1-bn=2n.

当n≥2时，

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1

=2n-1+2n-2+…+2+1=1-2n1-2=2n-1.

又b1=1也适合上式，所以bn=2n-1，

bn•bn+2-b2n+1=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2

=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2•2n+1+1 )

=-2n<0.

所以bn•bn+2

22.(12分)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐?

解析　设该儿童分别预定x，y个单位的午餐和晚餐，共需z元，则z=2.5x+4y.

可行域为12x+8y≥64，6x+6y≥42，6x+10y≥54，x≥0，y≥0，即3x+2y≥16，x+y≥7，3x+5y≥27，x≥0，y≥0，

作出可行域如图阴影部分所示，所以当x=4，y=3时，花费最少，zmin=22元.

因此，分别预定4个单位午餐和3个单位晚餐，就满足要求了.

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