概要：18.(12分)若数列{an}的前n项和Sn=2n.(1)求{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足b1=-1，bn+1=bn+(2n-1)，且cn=an•bnn，求数列{cn}的通项公式及其前n项和Tn.解析：(1)由题意Sn=2n，得Sn-1=2n-1(n≥2)，两式相减，得an=2n-2n-1=2n-1(n≥2).当n=1时，21-1=1≠S1=a1=2.∴an=2(n=1)，2n-1 (n≥2).(2)∵bn+1=bn+(2n-1)，∴b2-b1=1，b3-b2=3，b4-b3=5，…bn-bn-1=2n-3.以上各式相加，得bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)=(n-1)(1+2n-3)2=(n-1)2.∵b1=-1，∴bn=n2-2n，∴cn=-2(n=1)，(n-2)×2n-1 (n≥2)，∴Tn=-2+0×21+1×22+2×23+…+(n-2)

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18.(12分)若数列{an}的前n项和Sn=2n.

(1)求{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足b1=-1，bn+1=bn+(2n-1)，且cn=an•bnn，求数列{cn}的通项公式及其前n项和Tn.

解析：(1)由题意Sn=2n，

得Sn-1=2n-1(n≥2)，

两式相减，得an=2n-2n-1=2n-1(n≥2).

当n=1时，21-1=1≠S1=a1=2.

∴an=2　　(n=1)，2n-1 (n≥2).

(2)∵bn+1=bn+(2n-1)，

∴b2-b1=1，

b3-b2=3，

b4-b3=5，

…

bn-bn-1=2n-3.

以上各式相加，得

bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)

=(n-1)(1+2n-3)2=(n-1)2.

∵b1=-1，∴bn=n2-2n，

∴cn=-2　　　　　(n=1)，(n-2)×2n-1 (n≥2)，

∴Tn=-2+0×21+1×22+2×23+…+(n-2)×2n-1，

∴2Tn=-4+0×22+1×23+2×24+…+(n-2)×2n.

∴-Tn=2+22+23+…+2n-1-(n-2)×2n

=2(1-2n-1)1-2-(n-2)×2n

=2n-2-(n-2)×2n

=-2-(n-3)×2n.

∴Tn=2+(n-3)×2n.

19.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式.

解析：(1)依题意，得

3a1+3×22d+5a1+5×42d=50，(a1+3d)2=a1(a1+12d)，解得a1=3，d=2.

∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1，

即an=2n+1.

(2)由已知，得bn=a2n=2×2n+1=2n+1+1，

∴Tn=b1+b2+…+bn

=(22+1)+(23+1)+…+(2n+1+1)

=4(1-2n)1-2+n=2n+2-4+n.

20.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且ban-2n=(b-1)Sn.

(1)证明：当b=2时，{an-n•2n-1}是等比数列;

(2)求通项an. 新 课 标 第 一 网

解析：由题意知，a1=2，且ban-2n=(b-1)Sn，

ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1，

两式相减，得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1，

即an+1=ban+2n.①

(1)当b=2时，由①知，an+1=2an+2n.

于是an+1-(n+1)•2n=2an+2n-(n+1)•2n

=2an-n•2n-1.

又a1- 1•20=1≠0，

∴{an-n•2n-1}是首项为1，公比为2的等比数列.

(2)当b=2时，

由(1)知，an-n•2n-1=2n-1，即an=(n+1)•2n-1

当b≠2时，由①得

an +1-12-b•2n+1=ban+2n-12-b•2n+1=ban-b2-b•2n

=ban-12-b•2n，

因此an+1-12-b•2n+1=ban-12-b•2n=2(1-b)2-b•bn.

得an=2，　　　　　　　　　　n=1，12-b[2n+(2-2b)bn-1]， n≥2.

21.(12分)某地在抗洪抢险中接到预报，24小时后又一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24小时内另筑起一道堤作为第二道防线.经计算，如果有 20辆大型翻斗车同时作业25小时，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作.问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24小时内完成第二道防线，请说明理由.

解析：设从现有这辆车投入工作算起，各车的工作时间依次组成数列{an}，则an-an-1=-13.

所以各车的工作时间构成首项为24，公差为-13的等差数列，由题知，24小时内最多可抽调72辆车.

设还需组织(n-1)辆车，则

a1+a2+…+an=24n+n(n-1)2×-13≥20×25.

所以n2-145n+3 000≤0，

解得25≤n≤120，且n≤73.

所以nmin=25，n-1=24.

故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证在24小时内完成第二道防线.

22.(12分)已知点集L={(x，y)|y=m•n}，其中m=(2x-2b,1)，n=(1,1+2b)，点列Pn(an，bn)在点集L中，P1为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{an}为等差数列，且公差为1，n∈N*.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式;

(3)设cn=5n•an•|PnPn+1|(n≥2)，求c2+c3+c4+…+cn的值.

解析：(1)由y=m•n，m=(2x-2b,1)，n=(1,1+2b)，

得y=2x+1，即L：y=2x+1.

∵P1为L的轨迹与y轴的交点，

∴P1(0,1)，则a1=0，b1=1.

∵数列{an}为等差数列，且公差为1，

∴an=n-1(n∈N*) .

代入y=2x+1，得bn=2n-1(n∈N*).

(2)∵Pn(n-1,2n-1)，∴Pn+1(n,2n+1).

=5n2-n-1=5n-1102-2120.

∵n∈N*，

(3)当n≥2时，Pn(n-1,2n-1)，

∴c2+c3+…+cn

=1-12+12-13+…+1n-1-1n=1-1n.

 

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