概要：(2)四面体的中位面(过三条棱的中点的面)的面积等于第四个面的面积的四分之一;新课](3)四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心;(4)四面体的体积为V =13(S1+S2+S3+S4)r(r为四面体内切球的半径，S1、S2、S3、S4为四面体的四个面的面积).18.(12分)已知a>0，b>0，求证b2a+a2b≥a+b.解析：b2a+a2b-(a+b)=b2a-a+a2b-b=(b+a)(b-a)a+(a+b)(a-b)b=(a-b)(a+b)1b-1a=1ab(a-b)2(a+b)，∵a>0，b>0，∴b2a+a2b≥a+b.19.(12分)为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x=4-k2t+1(k为常数).如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2009年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均

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(2)四面体的中位面(过三条棱的中点的面)的面积等于第四个面的面积的四分之一;新课]

(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心;

(4)四面体的体积为V =13(S1+S2+S3+S4)r(r为四面体内切球的半径，S1、S2、S3、S4为四面体的四个面的面积).

18.(12分)已知a>0，b>0，求证b2a+a2b≥a+b.

解析：b2a+a2b-(a+b)=b2a-a+a2b-b

=(b+a)(b-a)a+(a+b)(a-b)b

=(a-b)(a+b)1b-1a=1ab(a-b)2(a+b)，

∵a>0，b>0，∴b2a+a2b≥a+b.

19.(12分)为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x=4-k2t+1(k为常数).如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2009年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).

(1)将该厂家2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数;

(2)该厂家2009年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大?

解析：(1)由题意有1=4-k1，得k=3，故x=4-32t+1.

∴y=1.5×6+12xx×x-(6+12x)-t

=3+6x-t=3+64-3t-1-t

=27-182t+1-t(t≥0).

(2)由(1)知：

y=27-182t+1-t=27.5-9t+12+t+12.

由基本不等式

9t+12+t+12≥29t+12•t+12=6，

当且仅当9t+12=t+12，

即t=2.5时，等号成立，

故y=27-182t+1-t

=27.5-9t+12+t+12≤27.5-6=21.5.

当t=2.5时，y有最大值21.5.所以2009年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大.

20.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1，n=1,2,3，….

(1)求a1，a2;

(2)猜想数列{Sn}的通项公式.

解析：(1)当n=1时，

x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1，

于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0，解得a1=12.

当n=2时，x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-12，

于是a2-122-a2a2-12-a2=0，

解得 a2=16.

(2)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0，

Sn2-2Sn+1-anSn=0.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1，代 入上式得

Sn-1Sn-2Sn+1=0①

由(1)得S1=a1=12，S2=a1+a2=12+16=23.

由①可得S3=34，由此猜想Sn=nn+1，n=1,2,3，….

21.(12分)设二次函数f(x)=ax2+b x+c的一个零点是-1，且满足[f(x)-x]•f(x)-x2+12≤0恒成立.

(1)求f(1)的值;

(2)求f(x)的解析式;

解析：(1)由均值不等式得x2+12≥2x2=x，

若[f(x)-x]•f(x)-x2+12≤0恒成立，

即x≤f(x)≤x2+12恒成立，

令x=1得1≤f(1)≤12+12=1，故f(1)=1.

(2)由函数零点为-1得f(-1)=0，即a-b+c=0，

又由(1)知a+b+c=1，所以解得a+c=b=12.

又f(x)-x=ax2+12x+c-x=ax2-12x+c，

因为f(x)-x≥0恒成立，所以Δ=14-4ac≤0，

因此ac≥116①

于是a>0，c>0.再由a+c=12，

得ac≤c+a22=116②

故ac=116，且a=c=14，

故f(x)的解析式是f(x)=14x2+12x2+12x+14.

22.(12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣 越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形.

(1)求出f(5);

(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式.

解析：(1)∵f(1)=1，f(2)=5，f(3)=13，f(4)=25，

∴f(5)=25+4×4=41.

(2)∵f(2)-f(1)=4=4×1，

f(3)-f(2)=8=4×2，

f(4)-f(3)=12=4×3，

f(5)-f(4)=16=4×4，

由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n.

∴f(n)-f(n-1)=4(n-1)，

f(n-1)-f(n-2)=4•(n-2)，

f(n-2)-f(n-3)=4•(n-3)，

…

f(2)-f(1)=4×1，

∴f(n)-f(1)=4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]

=2(n-1)•n，

∴f(n)=2n2-2n+1.

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