概要：故16(x2+y21)=9(x2+y2)，①由点P在椭圆C上，得y21=112-7x216，代入①式并化简，得9y2=112.∴点M的轨迹方程为y=±473(-4≤x≤4)，∴轨迹是两条平行于x轴的线段.20.(12分)给定抛物线y2=2x，设A(a,0)，a>0，P是抛物线上的一点，且|PA|=d，试求d的最小值.解析设P(x0，y0)(x0≥0)，则y20=2x0，∴d=|PA|=x0-a2+y20=x0-a2+2x0=[x0+1-a]2+2a-1.∵a>0，x0≥0，∴(1)当00，此时有x0=0时，dmin=1-a2+2a-1=a;(2)当a≥1时，1-a≤0，此时有x0=a-1时，dmin=2a-1.21.(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，-10)，点M(3，m)在

故16(x2+y21)=9(x2+y2)，①

由点P在椭圆C上，得y21=112-7x216，

代入①式并化简，得9y2=112.

∴点M的轨迹方程为y=±473(-4≤x≤4)，

∴轨迹是两条平行于x轴的线段.

20.(12分)给定抛物线y2=2x，设A(a,0)，a>0，P是抛物线上的一点，且|PA|=d，试求d的最小值.

解析　设P(x0，y0)(x0≥0)，则y20=2x0，

∴d=|PA|=x0-a2+y20=x0-a2+2x0=[x0+1-a]2+2a-1.

∵a>0，x0≥0，

∴(1)当00，

此时有x0=0时，dmin=1-a2+2a-1=a;

(2)当a≥1时，1-a≤0，

此时有x0=a-1时，dmin=2a-1.

21.(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，-10)，点M(3，m)在双曲线上.

(1)求双曲线方程;

(2)求证：点M在以F1F2为直径的圆上;

(3)求△F1MF2的面积.

解析　(1)∵双曲线离心率e=2，

∴设所求双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0)，

则由点(4，-10)在双曲线上，

知λ=42-(-10)2=6，

∴双曲线方程为x2-y2=6.

(2)若点M(3，m)在双曲线上，则32-m2=6，∴m2=3，由双曲线x2-y2=6知F1(23，0)，F2(-23，0)，

∴MF1→•MF2→=(23-3，-m)•(-23- 3，-m)=m2-3=0，

∴MF1→⊥MF2→，故点M在以F1F2为直径的圆上.

(3)S△F1MF2=12|F1F2|•|m|=23×3=6.

22.(12分)已知实数m>1，定点A(-m,0)，B(m,0)，S为一动点，点 S与A，B两点连线斜率之积为-1m2.

(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线;

(2)当m=2时，问t取何值时，直线l：2x-y+t=0(t>0)与曲线C有且只有一个交点?

(3)在(2)的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点(1,0)的距离与到直线x=2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率.

解 析　(1)设S(x，y)，则kSA=y-0x+m，kSB=y-0x-m.

由题意，得y2x2-m2=-1m2，即x2m2+y2=1(x≠±m).

∵m>1，

∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.

(2)当m=2时，曲线C的方程为x22+y2=1(x≠±2).

由2x-y+t=0，x22+y2=1，消去y，得9x2+8tx+2t2-2=0.

令Δ=64t2-36×2(t2-1)=0，得t=±3.

∵t>0，∴t=3.

此时直线l与曲线C有且只有一个公共点.

(3)由(2)知直线l的方程为2x-y+3=0，

设点P(a,2a+3)(a<2)，d1表示P到点(1,0)的距离，d2表示P到直线x=2的距离，则

d1=a-12+2a+32=5a2+10a+10，

d2=2-a，

∴d1d2=5a2+10a+102-a=5×a2+2a+2a-22.

令f(a)=a2+2a+2a-22，

则f′(a)=2a+2a-22-2a2+2a+2a-2a-24

=-6a+8a-23.

令f′(a)=0，得a=-43.

∵当a<-43时，f′(a)<0;

当-430.

∴f(a)在a=-43时取得最小值，即d1d2取得最小值，

∴d1d2min=5•f-43=22，

又椭圆的离心率为22，

∴d1d2的最小值等于椭圆的离心率.

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