概要：(1)求动点P的轨迹方程;(2)若点A(t,4)是动点P的轨迹上的一点，K(m,0)是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x2+(y-2)2=4的位置关系.解析：(1)设P(x，y)，则MN→=(2,0)，NP→=(x-1，y)，MP→=(x+1，y).由|MN→|•|NP→|=MN→•MP→，得2(x-1)2+y2=2(x+1)，化简，得y2=4x.故动点P的轨迹方程为y2=4x.(2)由点A(t,4)在轨迹y2=4x上，则42=4t，解得t=4，即A(4,4).当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时直线AK与圆x2+(y-2)2=4相离.当m≠4时，直线AK的方程为y=44-m(x-m)，即4x+m(m-4)y-4m=0，圆x2+(y-2)2=4的圆心(0,2)到直线AK的距离d=|2m+8|16+(m-4)2，令d=|2m+8|16+(m-4)2<2，解得m<1;令d=|2m+8|16+(m-4)2=2，解得m=1;令d=|2m+8|16+(m-4)2&

(1)求动点P的轨迹方程;

(2)若点A(t,4)是动点P的轨迹上的一点，K(m,0)是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x2+(y-2)2=4的位置关系.

解析：(1)设P(x，y)，则MN→=(2,0)，NP→=(x-1，y)，

MP→=(x+1，y).

由|MN→|•|NP→|=MN→•MP→，

得2(x-1)2+y2=2(x+1)，

化简，得y2=4x.

故动点P的轨迹方程为y2=4x.

(2)由点A(t,4)在轨迹y2=4x上，

则42=4t，解得t=4，即A(4,4).

当m=4时，直线AK的方程为x=4，

此时直线AK与圆x2+(y-2)2=4相离.

当m≠4时，直线AK的方程为y=44-m(x-m)，

即4x+m(m-4)y-4m=0，

圆x2+(y-2)2=4的圆心(0,2)到直线AK的距离d=|2m+8|16+(m-4)2，

令d=|2m+8|16+(m-4)2<2，解得m<1;

令d=|2m+8|16+(m-4)2=2，解得m=1;

令d=|2m+8|16+(m-4)2>2，解得m>1.

综上所述，当m<1时，直线AK与圆x2+(y-2)2=4相交;

当m=1时，直线AK与圆x2+(y-2)2=4相切 ;

当m>1时，直线AK与圆x2+(y-2)2=4相离.

19.(12分)如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，若抛物线x2=43y的焦点为椭圆C的上顶点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线L交y轴于点M，且MA→=λ1AF→，MB→=λ2BF→，当m变化时，求λ1+λ2的值.

解析：(1)易知b=3，得b2=3.

又∵F(1,0)，

∴c=1，a2=b2+c2=4，

∴椭 圆C的方程为x24+y23=1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x=my+1，3x2+4y2-12=0，

得(3m2+4)y2+6my-9= 0，Δ=144(m2+1)>0，

于是1y1+1y2=2m3.(*)

∵L与y轴交于点M0，-1m，又由MA→=λ1AF→，

∴x1，y1+1m=λ1(1-x1，-y1)，

∴λ1=1-1my1.同理λ2=-1-1my2.

从而λ1+λ2=-2-1m1y1+1y2=-2-23=-83.

即λ1+λ2=-83.

20.(12分)设G、M分别为△ABC的重心与外心，A(0，-1)，B(0,1)，且GM→=λAB→(λ∈R).

(1)求点C的轨迹方程;

(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足|AP→|=|AQ→ |，试求k的取值范围.

解析：(1)设C(x，y)，则Gx3，y3.

∵GM→=λAB→，(λ∈R)，∴GM∥AB.

∵点M是三角形的外心，∴M点在x轴上，即Mx3，0.

又∵|MA→|=|MC→|，

∴ x32+(0+1)2= x3-x2+y2，

整理，得x23+y2=1，(x≠0)，即为曲线C的方程.

(2)①当k=0时，l和椭圆C有不同两交点P、Q，根据椭圆对称性有|AP→|=|AQ→|.

②当k≠0时，可设l的方程为y=kx+m，

联立方程组y=kx+m，x23+y2=1，消去y，

整理，得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.(*)

∵直线l和椭圆C交于不同两点，

∴Δ=(6km)2-4(1+3k2)×(m2-1)>0，

即1+3k2-m2>0.(**)

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两相异实根，

于是有x1+x2=-6km1+3k2.

则PQ的中点N(x0，y0)的坐标是

x0=x1+x22=-3km1+3k2，y0=kx0+m=m1+3k2，

即N-3km1+3k2，m1+3k2，

又∵|AP→|=|AQ→|，∴AN→⊥PQ→，

∴k•kAN=k•m1+3k2+1-3km1+3k2=-1，∴m=1+3k22.

将m=1+3k22代入(**)式，得1+3k2-1+3k222>0(k≠0)，

即k2<1，得k∈(-1,0)∪(0,1).

综合①②得，k的取值范围是(-1,1).

21.(12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，它的一条准线方程为x=2.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若点A、B为椭圆上的两个动点，椭圆的中心到直线AB的距离为63，求∠AOB的大小.

解析：(1)由题意，知ca=22，a2c=2，

得a=2，c=1，故a2=2，b2=1，

故椭圆方程为x22+y2=1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

设直线AB的方程为x=±63，或y=kx+b.

当直线AB的方程为x=63时，由x=63，x22+y2=1，

可求A63，63，B63，-63.

从而OA→•OB→=0，可得∠AOB=π2.

同理可知当直线AB的方程为x= -63时，和椭圆交得两点A、B.

可得∠AOB=π2.

当直线AB的方程为y=kx+b.

由原点到直线的距离为63，得b1+k2=63.

即1+k2=32b2.

又由y=kx+b，x22+y2=1，消去y，得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0.

得x1+x2=-4kb1+2k2，x1x2=2b2-21+2k2，

从而y1y2=(kx1+b)(kx2+b)

=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=b2-2k21+2k2.

OA→•OB→=x1x2+y1y2=2b2-21+2k2+b2-2k21+2k2

=3b2-2(1+k2)1+2k2，

将1+k2=32b2代入上式，得OA→•OB→=0，

∠AOB=90°.

22.(12分)已知动点P与双曲线x2-y23=1的两焦点F1、F2的距离之和为大于4的定值，且|PF1→|•|PF2→|的最大值为9.[来xkb1.com

(1)求动点P的轨迹E的方程;

(2)若A、B是曲线E上相异两点，点M(0，-2)满足AM→=λMB→，求实数λ的取值范围.

解析：(1)双曲线x2-y23=1的两焦点F1(-2,0)、F2(2,0).

设已知定值为2a，则|PF1→|+|PF2→|=2a，因此，动点P的轨迹E是以F1(-2,0)，F2(2,0)为焦点，长轴长为2a的椭圆.

设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).

∵|PF1→|•|PF2→|≤|PF1→|+|PF2→|22=a2，

当且仅当|PF1→|=|PF2→|时等号成立，

∴a2=9，b2=a2-c2=5，

∴动点P的轨迹E的方程是x29+y25=1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由AM→=λMB→， 得

-x1=λx2，-2-y1=λ(y2+2)，

且M、A、B三点共线，设直线为l，

①当直线l的斜率存在时，设 l：y=kx-2，

由y=kx-2，x29+y25=1，得(5+9k2)x2-36kx-9=0，

Δ=(-36k)2-4(5+9k2)(-9)>0恒成立.

由韦达定理，得x1+x2=36k5+9k2，x1x2=-95+9k2.

将x1=-λx2代入，消去x2得(1-λ)2λ=144k25+9k2.

当k=0时，得λ=1;

当k≠0时，(1-λ)2λ=1445k2+9，由k2>0，得

0<(1-λ)2λ<16，得9-45<λ<9+45，且λ≠1.

②当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴端点，此时λ=-2-y12+y2=9±45.

综上所述，λ的取值范围是[9-45，9+45].一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1.若直线l与直线y=1、x=7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为(　　)

A.13　　　　 B.-13　　　　C.-32　　　　 D.23

解析：设P点坐标为(a,1)，Q点坐标为(7，b)，则PQ中点坐标为a+72，1+b2，则

a+72=1，1+b2=-1，解得a=-5，b=-3，即可得P(-5,1)，Q(7，-3)，故直线l的斜

率为kPQ=1+3-5-7=-13.

答案：B

2.若直线x+(a-2)y-a=0与直线ax+y-1=0互相垂直，则a的值为(　　)

A.2 B.1或2

C.1 D.0或1

解析：依题意，得(-a)×-1a-2=-1，解得a=1.

答案：C

3.已知圆(x-1)2+(y-33)2=r2(r>0)的一条切线y=kx+3与直线x=5的夹角为π6，则半径r的值为(　　)

A.32 B.332

C.32或332 D.32或3

解析：∵直线y=kx+3与x=5的夹角为π6，∴k=±3.由直线和圆相切的条件得r=32或332.

答案：C

4.顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线被直线y=x+1截得的弦长是10，则抛物线的方程是(　　)

A.y2=-x，或y2=5x B.y2=-x

C.y2=x，或y2=-5x D.y2=5x

解析：由题意，可知抛物线的焦点在x轴上时应有两种形式，此时应设为y2=mx(m≠0)，联立两个方程，利用弦长公式，解得m=-1，或m=5，从而选项A正确.

答案：A

5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，若该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为(　　)

A.106 B.206

C.306 D.406

解析：已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，则最短的弦长为252-12=46，最长的弦为圆的直径为10，则四边形的面积为12×46×10=206，故应选B.

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