概要：答案：B6.若双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点到其对应准线和一条渐近线的距离之比为2∶3，则双曲线的离心率是()A.3 B.5C.3 D.5解析：焦点到准线的距离为c-a2c=b2c，焦点到渐近线的距离为bca2+b2=b，bc=23，e=3.答案：C7.若圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y-1)2=2C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2解析：如图，据题意知圆的直径为两平行直线x-y=0，x-y-4=0之间的距离2 ，故圆的半径为 ，又A(2，-2)，故圆心C(1，-1)，即圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.答案：C8.已知抛物线y2=2px(p>0)，过点E(m, 0)(m≠0)的直线交抛物线于点M、N，交y轴于点P，若PM→=λME→，PN→=μNE→，则λ+μ =()A.1 B.-12C.-1 D.-2解析：设过点

答案：B

6.若双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点到其对应准线和一条渐近线的距离之比为2∶3，则双曲线的离心率是(　　)

A.3 B.5

C.3 D.5

解析：焦点到准线的距离为c-a2c=b2c，焦点到渐近线的距离为bca2+b2=b，bc=23，e=3.

答案：C

7.若圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为(　　)

A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y-1)2=2

C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2

解析：如图，据题意知圆的直径为两平行直线x-y=0，x-y-4=0之间的距离2 ，故圆的半径为 ，又A(2，-2)，故圆心C(1，-1)，即圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.

答案：C

8.已知抛物线y2=2px(p>0)，过点E(m, 0)(m≠0)的直线交抛物线于点M、N，交y轴于点P，若PM→=λME→，PN→=μNE→，则λ+μ =(　　)

A.1 B.-12

C.-1 D.-2

解析：设过点E的直线方程为y=k(x-m).代入抛物线方程，整理可得k2x2+(-2mk2-2p)x+m2k2=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=2p+2mk2k2，x1x2=m2.

由PM→=λME→，PN→=μNE→，可得

x1=λ(m-x1)，x2=μ(m-x2)，则λ+μ=x1m-x1+x2m-x2=x1(m-x2)+x2(m-x1)(m-x1)(m-x2)=m(x1+x2)-2x1x2m2+x1x2-m(x1+x2)=m(x1+x2)-2m22m2-m(x1+x2)=-1.

答案：C

9.直线MN与双曲线C：x2a2-y2b2=1的左、右支分别交于M、N点，与双曲线C的右准线相交于P点，F为右焦点，若|FM|=2|FN|，又NP→=λPM→(λ∈R)，则实数λ的值为(　　)

A.12 B.1

C.2 D.13

解析：如图所示，分别过点M、N作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.

由双曲线的第二定义，可得 = =e，

则 = =2.

∵△MPB∽△NPA，∴ = = ，即 = .

答案：A

10.在平面直角坐标系内，点P到点A(1,0)，B(a,4)及到直线x=-1的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，那么a=(　 　)

A.1 B.2

C.2或-2 D.1或-1

解析：依题意得，一方面，点P应位于以点A(1,0 )为焦点、直线x=-1为准线的抛物线y2=4x上;另一方面，点P应位于线段AB的中垂线y-2=-a-14x-a+12上.

由于要使这样的点P是唯一的，

因此要求方程组y2=4x，y-2=-a-14x-a+12有唯一的实数解.

结合选项进行检验即可.当a=1时，抛物线y2=4x与线段AB的中垂线有唯一的公共点，适合题意;当a=-1时，线段AB的中垂线方程是y=12x+2，易知方程组y2=4x，y=12x+2有唯一实数解.

综上所述，a=1，或a=-1.

答案：D

11.已知椭圆C：x24+y2=1的焦点为F1、F2，若点P在椭圆上，且满足|PO|2=|PF1|•|PF2|(其中O为坐标原点)，则称点P为“★点”.下列结论正确的是(　　)

A.椭圆C上的所有点都是“★点”

B.椭圆C上仅有有限个点是“★点”

C.椭圆C上的所有点都不是“★点”

D.椭圆C上有无穷多个点(但不是所有的点)是“★点”

解析：设椭圆C：x24+y2=1上点P的坐标为(2cosα，sinα)，由|PO|2=|PF1|•|PF2|，可得4cos2α+sin2α=(2cosα+3)2+sin2α•(2cosα-3)2+sin2α，整理可得cos2α=12，即可得cosα=±22，sinα=±22，由此可得点P的坐标为±2，±22，即椭圆C上有4个点是“★点”.

答案：B

12.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的右顶点为A，P为双曲线上的一个动点(不是顶点)，若从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q、R两点，其中O为坐标原点，则|OP|2与|OQ|•|OR|的大小关系为(　　)

A.|OP|2<|OQ|•|OR| B.|OP|2>|OQ|•|OR|

C.|OP|2=|OQ|•|OR| D.不确定

解析：设P(x0，y0)，双曲线的渐近线方程是y=±bax，直线AQ的方程是y=ba(x-a)，直线AR的方程是y=-ba(x-a)，直线OP的 方程是y=y0x0x，可得Qabx0bx0-ay0，aby0bx0-ay0，Rabx0bx0+ay0，aby0bx0+ay0.

又x02a2-y02b2=1，可得|OP|2=|OQ|•|OR|.

答案：C

第Ⅱ卷　(非选择　共90分)

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.若两直线2x+y+2=0与ax+4y-2=0互相垂直，则其交点的坐标为__________.

解析：由已知两直线互相垂直可得a=-2，

则由2x+y+2=0，-x+2y-1=0得两直线的交点坐标为(-1,0).

答案：(-1,0)

14.如果点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x-4)2+(y-1)2=1上，那么|MA|+|MF|的最小值为__________.

解析：如图所示，过点M作MB⊥l于点B.由抛物线定义，可得|MF|=|MB|，则|MA|+|MF|=|MA|+|MB|≥|CB|-1=4+1-1=4.

答案：4

15.若过原点O且方向向量为(m,1)的直线l与圆C：(x-1)2+y2=4相交于P、Q两点，则OP→•OQ→=__________.

解析：可由条件设出直线方程，联立方程运用韦达定理可求解，其中OP→•OQ→=x1x 2+y1y2是引发思路的关键.

答案：-3

16.如果F1为椭圆C：x22+y2=1的左焦点，直线l：y=x-1与椭圆C交于A、B两点，那么|F1A|+|F1B|的值为__________.

解析：将l：y=x-1代入椭圆C：x22+y2=1，可得x2+2(x-1)2-2=0，即3x2-4x=0，解之得x=0，或x =43.

可得A(0，-1)，B43，13.又F1(-1,0)，则|F1A|+|F1B|=(-1)2+12+43+12+132=823.

答案：823

三、解答题：本大题共6小题，共70分.

17.(10分)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4.

(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切，求椭圆焦点坐标;

(2)若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为kPM、kPN，当kPM•kPN=-14时，求椭圆的方程.

解析：(1)由b=21+1，得b=2，

又 2a=4，a=2，a2=4，b2=2，c2=a2-b2=2，

故两个焦点坐标为(2，0)，(-2，0).

(2)由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M、N关于坐标原点对称，

不妨设M(x0，y0)，N(-x0，-y0)，P(x，y).

点M、N、P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，

即有x02a2+y02b2=1，x2a2+y2b2=1，

两式相减，得y2-y02x2-x02=-b2a2.

由题意它们的斜率存在，则kPM=y-y0x-x0，kPN=y+y0x+x0，

kPM•kPN=y-y0x-x0•y+y0x+x0=y2-y02x2-x02=-b2a2，

则-b2a2=-14.

由a=2，得b=1.

故所求椭圆的方程为x24+y2=1.

18.(12分)已知两点M(-1,0)，N(1,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN→|•|NP→|=MN→•MP→.

(1)求动点P的轨迹方程;

(2)若点A(t,4)是动点P的轨迹上的一点，K(m,0)是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x2+(y-2)2=4的位置关系.

解析：(1)设P(x，y)，则MN→=(2,0)，NP→=(x-1，y)，

MP→=(x+1，y).

由|MN→|•|NP→|=MN→•MP→，

得2(x-1)2+y2=2(x+1)，

化简，得y2=4x.

故动点P的轨迹方程为y2=4x.

(2)由点A(t,4)在轨迹y2=4x上，

则42=4t，解得t=4，即A(4,4).

当m=4时，直线AK的方程为x=4，

此时直线AK与圆x2+(y-2)2=4相离.

当m≠4时，直线AK的方程为y=44-m(x-m)，

即4x+m(m-4)y-4m=0，

圆x2+(y-2)2=4的圆心(0,2)到直线AK的距离d=|2m+8|16+(m-4)2，

令d=|2m+8|16+(m-4)2<2，解得m<1;

令d=|2m+8|16+(m-4)2=2，解得m=1;

令d=|2m+8|16+(m-4)2>2，解得m>1.

综上所述，当m<1时，直线AK与圆x2+(y-2)2=4相交;

当m=1时，直线AK与圆x2+(y-2)2=4相切 ;

当m>1时，直线AK与圆x2+(y-2)2=4相离.

19.(12分)如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，若抛物线x2=43y的焦点为椭圆C的上顶点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线L交y轴于点M，且MA→=λ1AF→，MB→=λ2BF→，当m变化时，求λ1+λ2的值.

解析：(1)易知b=3，得b2=3.

又∵F(1,0)，

∴c=1，a2=b2+c2=4，

∴椭 圆C的方程为x24+y23=1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x=my+1，3x2+4y2-12=0，

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