概要：高三数学章末综合测试题(13)立体几何(1)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A.7 B.6 C.5 D.3解析A依题意，设圆台上、下底面半径分别为r、3r，则有π(r+3r)•3=84π，解得r=7.2.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB=CGCD=23，则()A.EF与GH平行B.EF与GH异面C.EF与 GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D.EF与GH的交点M一定在直线AC上解析D依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E、F、G、H共面.因为EH=12BD，FG=23BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上.同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这

高三数学章末综合测试题(13)立体几何(1)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　)

A.7 B.6 C.5 D.3

解析　A　依题意，设圆台上、下底面半径分别为r、3r，则有π(r+3r)•3=84π，解得r=7.

2.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB=CGCD=23，则(　　)

A.EF与GH平行

B.EF与GH异面

C.EF与 GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上

D.EF与GH的交点M一定在直线AC上

解析　D　依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E、F、G、H共面.因为EH=12BD，FG=23BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上.同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，所 以点M一定在AC上.

3.已知向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)，且ka+b与2a-b互相垂直，则k=(　　)

A.1 B.15 C.35 D.75

解析　D　k a+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1，k,2)，2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=

(3,2，-2)，∵两向量垂直，∴3(k-1)+2k-2×2=0，∴k=75.

4.已知直线m、n和平面α，在下列给定的四个结论中，m∥n的一个必要但不充分条件是(　　)

A.m∥α，n∥α B.m⊥α，n⊥α

C.m∥α，n⊂α D.m、n与 α所成的角相等

解析　D　对于选项A，当m∥α，n∥α时，直线m、n可以是平行、相交或异面 ;而当m∥n时，m、n与α的关系不确定，故选项A是m∥n的既不充分也不必要条件;选项B是m∥n的充分不必要条件;选项C是m∥n的既不充分也不必要条件;对于选项D，由m∥n可以得到m、n与α所成的角相等，但是m、n与α所成的角相等得不到m∥n.故选项D符合题意.

5.已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是(　　)

A.288+36π

B.60π

C.288+72π

D.288+18π

解析　A　依题意得，该几何体是由一个长方体与半个圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为8、6、6，半个圆柱相应的圆柱底面半径为3、高为8，因此该几何体的体积等于8×6×6+12×π×32×8=288+36π，故选A.

6.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确 的是(　　)

A.l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B.l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C.l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D.l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

解析　B　在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错;两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另 一条也垂直于第三条直线，B正确;相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错;共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错.

7.将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了(　　)

A.6a2　 　 　 B.12a2

C.18a2　　　 D.24a2

解析　B　依题意，小正方体的棱长为a3，所以27个小正方体的表面积总和为27×6×a32=18a2，故表面积增加量为18a2-6a2=12a2.

8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)

A.63 B.265

C.155 D.105

解析　D　如图，连接A1C1，B1D1，交于点O1，由长方体的性质易知∠C1BO1为BC1与平面BB1D1D所成的角.

∵BC=2，CC1=1，∴BC1=22+1=5，

又C1O1=12A1C1=1222+22=2，

∴在Rt△BO1C1中，sin ∠C1BO1=O1C1BC1=25=105.

9.已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有命题中，真命题有(　　)

A.0个 B.1个

C.2个 D.3个

解析　C　若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题;若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题;若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题.

10.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=10，AD=5，AA1=4.分别过BC、A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1=VAEA1-DFD1，V2=VEBE1A1-FCF1D1，V3=VB1E1B-C1F1C.若V1∶V2∶V3=1∶3∶1，则截面A1EFD1的面积为(　　)

A.410 B.83

C.202 D.162

解析　C　由V1=V3，可得AE=B1E1，设AE=x，则12x×4×5∶[(10-x)×4×5]=1∶3，得x=4，则A1E=42+42=42，所以截面A1EFD1的面积为202.

11.如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为(　　)

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

解析　C　还原正方体，如下图所示，连接AB，BC，AC，可得△ABC是正三角形，则∠ABC=60°.故选C.

12.连接球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27、43，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：

①弦AB、CD可能相交于点M;

②弦AB、CD可能相交于点N;

③MN的最大值为5;

④MN的最小值为1.

其中真命题的个数是 (　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

解析　C　易求得M、N到球心O的距离分别为OM=3，ON=2，若两弦交于M，则ON⊥MN，在Rt△ONM中，有ON

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横 线上)

13. 如图，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)

解析　∵FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)

【答案】　M位于线段FH上

14.已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及平面β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m∥n，②α∥β，③m⊥α，④n⊥β，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.

解析　同垂直于一个平面的两条直线互相平行，同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行.

【答案】　②③④⇒①

15.已知命题：“若x⊥y，y∥z，则x⊥z”成立，那么字母x，y，z在空间所表示的几何图形有可能是：①都是直线;②都是平面;③x，y是直线，z是平面;④x，z是平面，y是直线.上述判断中，正确的有________(请将你认为正确的序号都填上).

解析　当字母x，y，z都表示直线时，命题成立;当字母x，y，z都表示平面时，命题也成立;当x，z表示平面，y表示直线时，由相关的判定定理知命题也成立;

当x，y表示直线，z表示平面时，x⊥z不一定成立，还有可能x∥z或x与z相交，故①②④正确，③不正确.

【答案】　①②④

16.如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________.

解析　如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB、OC，则OC⊥l.设AB与β所成角为θ，

则∠ABO=θ ，由图得sin θ=AOAB=ACAB•AOAC=sin 30°•sin 60°=34.

【答案】　34

三、解答题(本大 题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)如图所示，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影E落在BC上.

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